再访氢原子能谱，《张朝阳的物理课》推导氢原子量子理论的相对论修正

氢可能是我们生活的这个宇宙里最简单也最常见的元素，但人们对氢原子的完整认识却还是近百年间的事情。伴随着量子力学的逐渐建立，从经典的行星轨道模型或者枣糕模型，到 Bohr 的原子理论，再到 Dirac 的相对论电子方程，直到今天成为微观物理世界的基石的量子电动力学和量子场论，人们对氢原子光谱的探索越来越精细，对自然规律的认识也越来越深刻。2023年11月5日中午，逢开课两周年庆，《张朝阳的物理课》第一百八十四期暨线下第二十一课开播，创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳先生坐镇直播间，同广大网友一同再访氢原子，对其相对论性的修正展开推到讨论。

氢原子的 Schroedinger 方程和基态波函数

过去，在《张朝阳的物理课》的第一卷中，氢原子的非相对论量子理论已经得到完整的讨论。忽略氢原子的原子核的量子效应（事实上可以通过分离变量将之处理为系统质心的平动），氢原子中的唯一一个电子受到质子的 Coulomb 势作用，这个系统的 Hamitlonian 可以写为

其中 q 是元电荷的电量， m 事实上应当是质子电子的折合质量，由于二者质量过于悬殊，它事实上近似等于电子的质量。为了简单起见，以下简写

将 Hamiltonian 中的动量和坐标改写为算符，氢原子中电子的能级就由如下的定态 Schroedinger 方程确定：

从中可以解出离散的氢原子能级

其中 Bohr 半径

同时也可以写出氢原子的基态波函数就是

氢原子的相对论修正

上面讨论的事实上是非相对论量子力学的结果，可以看到 Hamiltonian 中仍然使用了经典的 p^2/2m 作为动能项。在相对论动力学中，由于质量的相对论效应，动能项事实上需要进行修正。这种修正来自相对论的动质量关系

其中 m0 为静质量，p 为动量，而c为光速。从中可以看到相对论性的动能项应当有

考虑相对论修正较小的情形，即根号下的值接近于1，从而可以通过 Taylor 展开给出若干项相对论修正：

其中最低阶项正是非相对论的动能项，考虑最低阶的相对论修正。这个修正使得过去通过非相对论理论得到的定态波函数不再是新的 Hamiltonian 的本征态，但仍然能够利用微扰论给出本征值的修正。这里考察氢原子基态上的相对论修正，为

注意到非相对论的 Hamitlonian 有

从而基态能量修正事实上为

由于这个期待值计算于氢原子基态 E1 上，因此可以验证它事实上应当等于

计算势能项的期待值也可以通过位力定理进行，对 Coulomb 势它应当等于基态能量的两倍。这里采用直接计算的手段，只需要注意到基态波函数和势场都是球对称的，因此最主要的就是计算 1/r 的期待值，即

从而立即给出

符合位力定理的预测。类似地也可以给出势能平方的期待值：

将这些结果带入到上面的基态能级修正中，可以给出

引入精细结构常数

从而可以看到相对论的最低阶基态能量修正正是

即令氢原子基态能量向下移动了约0.006%。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周五，周日中午12时在视频直播，网友可以在视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在新闻APP的“科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。