从广义相对论回到牛顿力学，《张朝阳的物理课》推导低速弱场近似下的粒子运动

爱因斯坦场方程给出了比牛顿方程更真实的物理描述，但在低速和弱引力场的条件下，两个理论应该回归到同一个运动模式。如何在低速弱场情况下将两者进行统一呢？1月7日12时，《张朝阳的物理课》第一百九十六期开播，创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇视频直播间，带大家复习跨年演讲时略过的推导细节，重温当年爱因斯坦的推导思路。

张朝阳先介绍了测地线方程的各个分量，然后依次对它们做低速、静态、弱场近似，最后得到了度规的00分量与经典引力势的关系，从而确定了爱因斯坦场方程的系数。

（张朝阳推导牛顿极限下的场方程）

从广义相对论的弯曲时空观，回到经典牛顿力学

在广义相对论的观念中，牛顿所谓的万有引力本质上是一种时空弯曲的几何效应。质量的存在会引起时空弯曲，在弯曲的时空中放一个小质量测试粒子，这个粒子在自由状态下将沿着弯曲时空的测地线运动。因为时空已经被弯曲了，测试粒子的运动轨迹也跟着是弯曲的，表面上看仿佛是被质量吸引了过来。

这是一个比牛顿力学更普适的理论，但它并没有否定牛顿力学，而是对它进行完善。可以想象，在低速弱引力场的情况下，广义相对论给出的运动轨迹将趋向于经典情况，在这一极限下，广义相对论的弯曲时空观将回到人们熟悉的平方反比的万有引力。

之前的课上，张朝阳已经介绍了爱因斯坦场方程，它描述了物质如何弯曲时空，

其中方程左侧的G_{μν}是爱因斯坦张量，它由两项组合而成，第一项R_{μν}是里奇曲率张量，第二项中的g_{μν}是度规，R是里奇标量。利用Bianchi恒等式可以推导出，组合后的爱因斯坦张量的协变散度为0，

这样就能和场方程右侧的能动量张量T_{μν}对应上，保证了方程两边都是守恒量。粒子在不受其他力的自然状态下走测地线（geodesic），这相当于弯曲时空下的直线，或者说，它相当于由弯曲时空版本的“牛顿第二定律”，描述了粒子的动力学

上式中的ds是粒子世界线的线长微元，它和粒子的原时的关系为d²s=-c²dτ。既然广义相对论是牛顿力学的补充完善，那么在低速弱引力场极限下，测地线方程应该能和引力场中经典的牛顿第二定律对应起来

以及爱因斯坦场方程也应该和经典引力场方程对应起来

如何建立起牛顿极限下广义相对论与经典力学的对应关系，便是本节课要解决的问题。

巧妙利用三个近似，得到度规和引力势的关系

为了更好地展现牛顿极限这一思路的必要性，先把爱因斯坦场方程写成待定系数的形式

这么写的缘由是自然的，因为在之前的讨论中，已经知道场方程左侧是爱因斯坦张量，右侧是能动量张量，但它们之间的比例系数还未知。在能动量张量中，T_{00}分量代表物质的密度ρ，这提示人们，爱因斯坦场方程的00分量应该可以在经典极限下退化为牛顿引力场的泊松方程

那么什么是经典极限？如何用数学语言量化这种极限？首先，近似①：粒子的运动是低速的，用四速度写出来就是

如果把四维时空坐标写开

就可以发现粒子四速度的0分量有一个光速c的因子，而刚刚的假设也是考虑到粒子的空间速度相比光速很小，所以相比四速度0分量（也就是时间速度）可以忽略。这意味着，测地线方程的右侧可以只保留00项，其他项相比00项都是可忽略的小量

回顾克氏符的定义

当μ=ν=0时，

这里引入了近似②：引力场是静态的，度规不含时，所以度规对时间的偏导为0。在这样的近似下，测地线方程变成了

近似③：在弱引力下，时空度规应当无限接近于平坦的闵氏时空，可以近似写为

展开写成矩阵形式就是

测地线方程中的α有四个取值，对应测地线方程的四个分量。当α=0时，将度规自身保留到η阶

注意在对β指标求和时，β=0时度规对时间的偏导为0，而β=1,2,3时η^{0β}为0，所以对β求和的四项都是0。这个方程说明在上述三个假设下粒子的时间速度是一个常数，可以记为b

（张朝阳推导测地线方程的0分量）

当α=i=1,2,3时，

这里也用到了近似③，将度规自身保留到η阶，而在偏导项中保留h阶。将左侧展开

这样方程两侧的b²可以消掉，得到

与牛顿力学对比

可得

这里出现了一个未定的积分常数c3，它的值很容易求解。考虑在无穷远处经典牛顿的引力势

而刚刚对度规做近似是在平直的闵氏时空η的基础上加了一个h，在无穷远处，这个额外加上的h也趋于0

这说明常数c_3=0。加回η后，完整的度规为

在得到了度规的00分量后，就可以回过来求解爱因斯坦场方程中的待定系数。经过复杂的演算，左侧的爱因斯坦张量的00分量，在上述三个近似下正是对度规的00分量作用拉普拉斯算符

最后一步代入了经典引力势所满足的泊松方程

所以之前场方程中的待定系数c_2应该是-8πG。在前面的推导中假设了光速c=1，补上光速的值后就得出了伟大的爱因斯坦场方程

张朝阳强调，指标求和的运算和之前经典的矢量分析完全不同，必须要亲自下场动笔计算，才能对这些指标运算产生感觉。在刚刚的演算过程中，一共用到了三处近似，即低速、静态、弱场，这些都是在牛顿极限下可以合理成立的。方程的精确求解很复杂，但有时，一些适当且巧妙的近似处理可以给大家一个很好的物理图像，这也是物理思维中的重要一环。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在视频直播，网友可以在视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在新闻APP的“科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。