相对论的时空观,《张朝阳的物理课》推导狭义相对论中的时空变换关系

尽管相比起来 Galileo 和 Newton 建立起来的力学体系仍然算是年轻的理论，但它们却完全不如 Einstein 的相对论这样深刻地改变人们对时空的认识。经典时空观认为时间默默在所有参考系背后均匀地流动，而空间则作为物质运动的舞台。这种时空观天生蕴含着速度的简单叠加性质，并且导致无限速度的存在。与之不同，相对论认为真空光速作为所有惯性参考系相同的宇宙之间最快的速度，这令时间的独立性不再成立。12月2日下午，《张朝阳的物理课》第一百八十九期火热开讲，创始人，董事局主席兼CEO，物理学博士张朝阳先生在西安交通大学同莘莘学子们就相对论时空观展开交流互动，也同步为线上网友带来了精彩的直播课程。

从长度不变到间隔不变

就像研究所有物理问题一样，如果为了讨论时空直接的变换规律，在变换之中保持不变的量是需要仔细讨论的。在欧氏几何中，旋转变换天生地保持了点到转动轴的距离的不变性。在二维空间中，这种不变性是通过如下的几何性质体现出的：

其中 R 正是点 (x, y) 到原点的欧氏距离，角度 ϕ 是坐标系逆时针转动的角度。利用三角函数能够自然地证明 R 是变换下的不变量：

而利用三角函数的性质，也不难写出坐标变换的矩阵形式

现在考虑狭义相对论中的时空，为了简单起见，暂时忽略 y,z 方向而考虑由 (ct, x) 组成的 1+1 维时空。设想参考系 S 和 S’ 在时刻 t = t’ = 0 时原点重合，S’ 系相对 S 系以速度 V 沿着 x 轴正方向运动。有一束光在 t=0 时刻从原点发出。在 S 系中的观察者来看，这束光以光速 c 运动，应当有 |x| = ct。而 S’ 系中的观察者由于光速不变原理，因此看到的同样是 |x’| = ct’。这里使用了绝对值来表示这种不变性无关于光向正向或负向运动。因此这暗示了某种不变性即

但这种光的运动过程仍然比较特别，下面考察某个实际粒子的运动。粒子同样开始时位于坐标的原点，但在它以速度 v 向 x 轴正方向运动时，一个光信号同时地发出，直到命中平行于 x 轴位于空间坐标 (vt, y) 处的一个接收器。显然，接收器的位置正是此时粒子位置沿 y 方向作平移得到的。因此在 S 系中，光信号运动的距离 ct，粒子运动的距离 x=vt 和 y 方向的距离 y 就组成了一个直角三角形。利用勾股定理可以得到：

可以额外讨论 y 的物理意义，它事实上就是一个随同粒子运动的参考系中看到的，光信号沿着 y 轴运动直到命中接收器的距离，在随动参考系中的时间流逝显然同其他参考系不同，可以写出 y = c τ 来表达。这种结论同参考系无关：粒子和接收器的连线垂直于运动方向的结论在S’参考系也成立。如此，关于时空变换中的不变量有了更多的信息：

对于 x > ct，即无法利用实物粒子的运动联系起来的时空点，同样可以证明类似的结论。这种时空变换下的不变量被称为时空间隔，即（为了书写上的方便这里调整了正负号的安排）

Lorentz 变换的导出

间隔不变的形式事实上和前面关于欧氏空间的转动下距离不变是相似的，只需要引入虚数单位 i 即可写出

将欧氏空间的坐标用角度表达的形式应用在这个形式上，可以写出

虚数单位 i 的存在使得空间坐标项的形式异常。为此可以引入虚角度，即令 θ 为 iθ。这种猜测可以让坐标表达从三角函数成为双曲三角函数，为：

立即可以发现，对 θ 的种种操作和猜测事实上就对应于双曲三角函数的性质，即

这种不同于三角函数的特性使得双曲三角函数可以自然地用于表达时空分量。转动带来的效果同样也需要进行调整为

应用双曲三角函数的关系，可以写出矩阵形式的时空变换：

为了理解参数 ϕ 的物理意义，考虑 S’ 系坐标原点的运动，正是

这意味着 c tanh ϕ 正应当是前面提到的参考系 S’ 相对参考系 S 的运动速度 V。不妨令 β = V/c，从而有

从而时空变换的具体形式得到了确定：

这也就是著名的 Lorentz 变换。它的微分形式也十分常用：

其中时空间隔正反映为线元

根据 ds^2 的正负或0可以将间隔区分类空，类时或类光。在时空图 (ct, x) 坐标中，类光曲线对应一条横纵轴的角平分线，而实际粒子的运动轨迹即类时曲线，其在任何位置处的切线同时间轴的夹角都应当小于45度以确保 ds^2 < 0。

可以进一步验证这样推导出来的 Lorentz 变换维持线元形式不变：

如此，即可确定 Lorentz 变换不改变线元，也同前面的讨论一致。

时间膨胀，长度收缩和速度合成公式

现在开始讨论时空变换的一些推论。首先是时间膨胀。考虑粒子相对地面的运动速度为 v，那么令地面系为 S，粒子相对静止的参考系为 S’。从而应当有 Lorentz 变换的反变换要求

其中使用了相对静止参考系中粒子位置不发生变换。这个参考系中的时间 t’ = τ 被称为固有时。分子小于1的特性使得地面系观察到的粒子上发生的任何物理过程的时间都长于固有时。这也被称为时间膨胀。

另一个推论则是长度收缩。为了给长度一个合理的定义，针对运动中的物体的两个端点必须在相同的时间进行测量，即 (x1, t) 和 (x2, t) 的时间分量必须相等。而相对物体静止的参考系中即使不同时测量也不会出现问题。利用时空变换有相对物体静止参考系中的长度 L’ 有

其中 L = x2 - x1 正是运动中物体的长度。从而有

这种运动的物体长度变短的效应也被称为长度收缩或者 Lorentz 收缩。

最后，来使用时空变换推导相对论的速度变换。考虑 S’ 系相对 S 系以速度 u 沿 x 轴正方向运动， S’ 系中有物体相对其以速度 v 沿着 x’ 轴正向运动。考察 S 系中物体的运动速度 α，应当有

如果 v = c，可以立即验证有

不会违背光速不变原理。

双生子佯谬

双生子佯谬曾经作为一个对相对论的诘难而活跃于物理社区中。这里对双生子佯谬进行一定解释。佯谬的内容为考虑双胞胎兄弟 A 和 B，其中 A 生活在地球（假定是惯性系，且不考虑引力作用），而 B 乘坐宇宙飞船相对 A 以高速运动。到一定时间后 B 改变运动方向回到地球，试问 A 和 B 谁更加年轻。

这个佯谬令人困惑的一点在于经常有人质疑既然 B 相对 A 运动，那么根据时间膨胀应当有 B 更加年轻。但是如果考虑以 B 为参考系，发生运动的成为了 A，那么 A 应当更年轻才对。这种误解的核心在于由于 B 一定要发生加速运动过程，因此 B 无法作为惯性参考系来应用时间膨胀。事实上，全程使用 A 为参考系应用固有时是可以计算 A 和 B 的时间流逝的。不妨假设 B 沿着 x 轴正方向以速度 v 运动，在 t 时刻调转速度回到地球。那么 A 的惯性系中可以看到的时间流逝应当有

而 B 的参考系中经过的时间正是其固有时，应当有

从而立即看出应当有 tA > tB，即 B 要更加年轻。近代通过实验也肯定了双生子佯谬是服从相对论的预言的。这里也可以进行一个实际例子的计算，考虑 v = 0.5c 的情况，那么

换言之，如果 B 经历为1年，那么 A 感受到的时间流逝就是13.8个月。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周五，周日中午12时在视频直播，网友可以在视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在新闻APP的“科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。