洛伦兹变换可以看成某种时空转动？《张朝阳的物理课》回顾狭义相对论

动钟变慢动尺变短，这些都可以通过洛伦兹变换推导出来。但洛伦兹变换有什么更深刻的内涵吗？为什么物理学家说它是时空的转动？11月12日12时，《张朝阳的物理课》第一百八十六期开播，创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇视频直播间，先回顾了狭义相对论中的经典效应，再从时空间隔不变量出发，说明时间和空间互相耦合，但可以用类似欧式空间的转动的方式重新分解。

回顾洛伦兹变换，长度收缩和时间膨胀

假设有两个参考系S和S’，S’相对S有一个向右的移动速度v，在零时刻，两参考系的坐标原点重合，坐标轴互相平行。

（两个相对运动的惯性参考系）

在只考虑一个空间维度x和时间t的情况下，两坐标系之间的洛伦兹变换是

其中

如果要考虑随着S’系一起运动的物体的时间流速，就要利用物体在S’系中的坐标x’不变的性质，写出S’系中的时间t’和坐标x’变换到S系中时间t的关系

这是洛伦兹变换的逆变换。在这里，S'系中的坐标x'是一个固定值，所以在考虑AB两个事件时，x_A'=x_B'，那么在对时间作差时这一项就会互相减掉

因为γ>1，所以在S系测到的时间比在S’系测到的时间更长，这就是运动物体的时间膨胀。

如果要考虑随S’系一起运动的物体的长度变化，就要抓住长度的定义。当人们在说长度的时候，其实是在说一个物体两端的坐标在同一时刻的差，但“同一时刻”对于不同的参考系而言是不同的，因此，在考虑物体在S系的长度时，就要限定是在S系同一时刻下，对物体两端的坐标进行测量。

（张朝阳推导尺缩效应）

以一根原长为l的尺子为例，当它随S’系一起运动时，尺子的端点①和端点②在S’系中有固定的坐标x1'=0，x2'=l，所以它在S’系的长度就是l。但在S系中，尺子的两个端点会随时间推移出现在不同的坐标x1和x2上，所以在S系考虑尺子的长度时，一定是选取在S系看来相同的时刻，对端点①出现在x1和端点②出现在x2两个事件做观测。换句话说，这两个事件在S系的视角下同时发生，t1=t2。从S系到S‘系的洛伦兹变换是

对于S’系而言，这两个事件其实是不同时的，但这没有关系，因为对于在S’系中静止的端点①和端点②恒有x1'=0，x2'=l。对洛伦兹变换的两式做差得到

这说明在相对物体运动的S系看来，它在运动方向上的长度L_S比原长l更短，这就是运动物体的长度收缩。

（大气μ子问题）

时间膨胀和长度收缩对解释大气μ子问题是至关重要的。大气μ子是由宇宙射线撞击到地球大气高层的气体分子产生的，这种撞击大约发生在1万米处的高空。μ子的半衰期是2.2微秒，速度可以达到0.998c。如果按常规方法来算，它只能穿越六百多米的大气，无法被地面观测站接收到，但实际情况是人们可以在地面接收到大气μ子。

这个问题考虑相对论效应就可以解释，以地球参考系来看，μ子的半衰期会膨胀16倍，这样就有足够的时间穿过大气来到地面。以μ子参考系来看，地球大气的厚度会收缩为原来的1/16，这样也可以在2.2微秒内穿过。两种参考系的视角是互相吻合的。

通过欧几里得空间的旋转不变量 类比闵氏时空的时空间隔不变量

张朝阳讲解道，洛伦兹变换可以视为闵氏时空的伪转动。如何理解这种伪转动呢？不妨先回顾一下在欧几里得空间中旋转的情景，

在二维空间中有一个矢量r，它在原坐标系中的坐标是(x,y)，与x轴的夹角为θ，

现在将坐标系旋转角度ϕ，经过这个旋转变换得到矢量r的另一个坐标

或者写成

转动之后矢量的长度并不发生改变，依然有

现在再来考虑洛伦兹变换，它是光速不变结果下的产物，所以在把时间和空间组合成时空坐标时，自然会想到要把时间坐标乘以一个光速c以统一量纲，也就是说，四维时空坐标应该具有(ct,x,y,z)的形式。那么，这个坐标在洛伦兹变换下有没有类似于在空间旋转下不变的“长度”呢？答案是有的，不同参考系下光速不变，S系下的x=ct在S'系下会变成x'=ct'，这就启发人们构造这样一个不变量，称为时空间隔：

构造出这样一个时空间隔后，该如何说明它在任何惯性参考系下都是不变量呢？可以想象这样一个情景，在二维空间的原点处有一个光源向上发射了一束光，光在静止系S0中经过时间τ来到y轴上的某点，该点在静止系的二维空间坐标为(0,cτ)。

在S0系外另有一个参考系S_u，它相对静止系S0以u的速度向x轴负方向运动，光在这个参考系中花费了时间t_u来到了空间坐标(x_u,cτ)。从光速不变可以知道，光所走的路径长度是ct_u，也就是下图中直角三角形的斜边长。利用直角三角形的勾股定理，可以得到

（张朝阳阐述时空间隔是洛伦兹不变量）

对于相对静止系S0以v的速度向x轴负方向运动的参考系S_v，也有相同的结果

这说明三个参考系下的时空间隔是一样的，它们都具有形式

这个形式只在没有被引力弯曲的平直时空中成立，它最早由俄裔德国数学家闵可夫斯基提出，所以平直时空也被称为闵氏时空。

导出闵氏时空的伪转动，验证时空间隔的不变性

上一节，张朝阳将时空间隔写成了空间坐标平方减去时间平方的二次型，如果用矩阵的方式来写，可以把时间前面的负号提出来

时空坐标中间夹着的矩阵称为度规。一开始，爱因斯坦对这种形式并不重视，认为只是换了一种数学书写方式，但后来在发展广义相对论时，他逐渐意识到度规是描述时空弯曲的有力的工具，之后的课程将对此做进一步介绍。回到时空间隔，s的平方是一个负数，这说明s是一个虚数，引入虚数单位i，记s的虚部为a，有

这个形式的时空间隔长得就很像欧几里得空间的矢量长度了，欧式时空有矢量方向角，那么闵氏时空有没有类似角度的参量呢？可以先做一个尝试，把时间和空间视为时空间隔在某种角度下的投影，写为

第一个式子两边都是虚数，但第二个式子左边是实数，右边是虚数，这样是没有意义的。好在数学上有双曲函数

所以不妨将角度变成一个虚数参量，θ→iθ，将三角函数换成双曲函数

这里的θ相当于假想的转动角的虚部。写成这个形式之后，方程两边都是实数，说明参量θ是可以将时空间隔用双曲函数投影成时间分量和空间分量的，但它不是欧式空间中的三角函数，因此只能说在形式上可以看成某种伪转动。如果在此基础上把时空坐标(ct,x)再伪转动一个参量ϕ，变成另一个时空坐标(ct',x')。根据双曲函数的运算规则，新的时空坐标是

新旧坐标的变换可以用矩阵形式写成

将其中的变换矩阵记为R，时空坐标记为X，可以简写为

之前的推导都建立在时空间隔是不变量的基础上，反过来，也可以验证伪转动下时空间隔是保持不变的。原始的时空间隔是

经过伪转动后

其中

所以，伪转动后时空间隔依然是

由此验证了时空间隔在伪转动变换前后保持不变。

目前看来，伪转动是一种将时空间隔分解成时间分量和空间分量的形式参量。那么伪转动有什么更具体的物理含义吗？不妨设想有一个固定在S'系原点处随S'系一起运动的物体，它在S'系的坐标恒为0，

所以

从这个式子可以知道，伪转动的参量ϕ和坐标系之间的相对速度有关，因此ϕ也被称为快度(rapidity)。还可以继续算出

代入时空坐标变换公式，得到

所以，伪转动正是洛伦兹变换！

（张朝阳从时空伪转动导出洛伦兹变换）

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