从守恒定律到行星轨道方程，《张朝阳的物理课》推导天体运行规律_运动_质点

身处地面的人们从来都不会停止对天空的渴望。Kepler因为他的三大定律曾被誉为“天空立法者”，而今天，这些定律却都能被概括为Newton的万有引力定律和第二定律。通过严谨的数学，我们不需要进入太空访问群星就能够相当精确地预测天体的运动。9月24日当天，创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳现身播主大会，为广大粉丝播主和物理爱好者们带来了一场关于天体运行的物理课。

平方反比有心力场中的守恒定律

普遍的行星运动受到众多其他天体引力的影响。一类最常见的情形是恒星的质量远远大于行星的质量，并且其他天体的摄动可忽略。此时问题抽象为有心平方反比力场中质点的运动问题。针对这样的有心力场，在其中运动的质点可以通过极坐标的方式来进行描述。一般地，我们取质点坐标为(r, θ)。利用径向的单位矢量不难写出其位置矢量为 r = r e_r。在这样的有心力场中，质点的第一个守恒定律正是角动量守恒。角动量矢量为

其中m为质点的质量，单位矢量n=e_r x e_θ，而且我们使用了极坐标中速度的分量形式。这里及接下来我们使用字母上方加一点代表对时间的导数，这种记号正是来自Newton的“流数术”。角动量的守恒性同时也保证了质点运动一定是个平面运动。我们也可以通过引入标量l来简化这个守恒定律的结果

除了角动量守恒，另一个守恒定律自然是机械能守恒。我们这里直接写出 其中G为万有引力常数，M为作为力心的天体的质量。我们这里同样使用了极坐标系中速度的分量形式。

行星轨道方程的导出

将上面的方程联立，消去θ对时间的导数我们可以得到

这里仍然存在r关于时间的导数，我们可以使用如下的链式法则来将其改写为对theta的导数

其中r’代表r对θ的导数。带入前面的方程并整理，我们最终得到

这个方程中仅包含r对θ的导数，因此正是质点运动轨迹的方程，即行星轨道方程。

行星轨道方程的求解

注意到轨道方程中仅出现1/r相关的项，这启发我们做代换f=1/r。从而我们可以写出

从而轨道方程可以改写为关于f的方程，即

这个方程中出现的f’和f的直接平方和启发我们猜测解应当包含三角函数。不妨设有

其中角度的偏置总可以通过合理选择极坐标的极轴方向来消除掉。将这个形式带入到方程中，我们得到

这个方程如果对任意的角度θ都成立，那么只能有

从而我们就给出了行星的轨道方程，有

它拥有圆锥曲线的形式，其中离心率有

对于通常的束缚态轨道，我们有E<0，这意味着离心率e<1。从而行星轨道应当为椭圆。而如果机械能E>0 (E=0)，那么离心率e>1，这使得行星轨道成为双曲线（抛物线），此时行星将不具备封闭轨道，换言之，它将会离开恒星运动到无穷远处。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周五，周日中午12时在视频直播，网友可以在视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在新闻APP的“科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。